math: 2014

Wednesday, December 3, 2014

Факториаль

1. 1!+3!+5!+7!+9!+...+2013! тооны сүүлийн 2 цифрийг ол?

Бодолт: 10 түүнээс дээш тоонуудын факториаль хоер ба түүнээс дээш тэгээр төгсөнө.Тэхлээр 1!+3!+5!+7!+9!-г олоход хангалтай.1!+3!+5!+7!+9!=1+1*2*3+1*2*3*4*5+1*2*3*4*5*6*7+1*2*3*4*5*6*7*8*9=1+6+120+5040+362880=368047 сүүлийн хоер цифр нь 47

2. 2!+4!+6!+8!+10!+...+2010! тоонуудын сүүлийн 2 цифрыг ол?

Бодолт: 10-аас дээш тоонуудын факториаль хоер ба түүнээс дээш тэгээр төгсөнө.Бид 2!+4!+6!+8!-г олоход хангалттай.2!+4!+6!+8!=1*2+1*2*3*4+1*2*3*4*5*6+1*2*3*4*5*6*7*8=2+24+720+40320=
=41066

Хариу нь 66

интеграл

Арифметикийн бодлого

Арифметикийн бодлого

Бодлого. 9 тооны дундаж 7 байв.Мөн өөр 7 тооны дундаж 9 байв.Тэгвэл нийт 16 тооны дундаж хэд вэ?
Бодолт:эхний 9 тооны арфиметик дундаж нь: ( а1+а2+...+а9)/9=7 болох ба нийт нийлбэр нь a1+a2+...+a9=7*9=63 болно.Дараагийн 7 тооны арифметик дундаж нь    (b1+b2+...b7)/7=9 болох бөгөөд нийлбэр нь b1+b2+...b7=9*7=63 болно, Эдгээр 16 тооны арифметик дундаж нь уг нийлбэрүүдийг 16-д хуваахад олддог тул
S=(a1+a2+...+a9+b1+b2+..+b7)/16=(63+63)/16=126/16=7.875
Хариу:7,875
Бодлого. Ямар дараалсан 3 бүхэл тоог нэмэхэд 1488 гарах вэ?
Бодолт: Дараалсан тооны дундах гишүүнийг х-гэж авья,тэгвэл эхний гишүүн (х-1) болох ба сүүлийн гишүүн (х+1) болно.Одоо тэгшитгэлээ зохио: (х-1)+х+(х+1)=1488
3x=1488 x=496 (дундах тоо)
х-1=495 (эхний тоо)
x+1=497(сүүлийн тоо)
Хариу: 495;496;497
Бодлого. Хоер оронтой тооны цифрүүдийн нийлбэр 12-той тэнцүү ба нэгжийн орны цифр аравтын орны цифрээс 2 дахин бага бол энэ тоог ол.
Бодолт: Аравтын орны тоог х-ээр,нэгжийн орны тоог у-ээр авч,тэгшитгэл зохионо.
x+y=12 y=2x
x+2x=12
3x=12
x=4
y=2x=2*4=8
Хариу:48
Бодлого.Эхлээд бүх жимсний 2/5-ыг,дараа нь үлдсэн жимсний 1/3-ийг,дахин 900гр жимс зарвал нийт жимснийхээ 3/4 -ыг зарах байсан бол анх хэдэн кг жимс байсан бэ?
Бодолт:Анх х кг жимс байсан гэж үзье.Үүний эхлээд 2х/5 зарагдсан тул (х-2х/5)=3x/5 үлдэнэ.Үлдэгдлийн1/3-г зарснаар (3х/5*1/3)=x/5 зарагдана..Дахин 900гр-ийг зарсанаар (х/5+900) зарагдана..Зарагдалгүй үлдсэн жимс (х-3х/4)=x/4 хэсэгтэй тэнцүү.Эдгээрийг үндслэн тэгшитгэлзохиобол:

2x/5+x/5+900+x/4=x
8x+4x+900*20+5x=20x
3x=18000гр
x=6000гр=6кг   Хариу:6 кг
Бодлого:Ахын нас дүүгийнхээсээ 3 дахин их байв.8 жилийн дараа ах нь дүүгээсээ 2 дахин их настай болох бол дүү нь хэдэн настай вэ?
Бодолт: Ахын насыг х-ээр,дүүгийн насыг у-ээр тус тус тэмдэглэбэл,бодлогын эхний нөхцлөөр
x=3y болно.Бодлогын 2 дахь нөхцлөөр: x+8=2(y+8) болно.х-ийг у-ээр оруулбол:
3у+8=2(y+8)   3y+8=2y+16
y=8 Хариу:8
Бодлого 12 ширхэг үзэг,12 ширхэг харандааны хамт 16,20$ болно.Хэрэв нэг харандаа 0,15$ бол үзэгний үнэ хэд вэ?
Бодолт:Эхлээд нийт харандааны үнийг тогтооно: 12*0,15=1.8$
Одоо үзэгний үнийг олно.үзэгний үнийг х гэж үзье: 1,8+12х=16.20$
12x=16.20$-1.8$=14.4$ x=14.4/12=1.2$ Хариу:1.20$
Бодолго.Хоер оронтой тооны цифрүүдийн нийлбэр 9. Цифрүүдийн байрыг солиход гарах тоо нь өгөгдсөн тооны 5/6 -тай тэнцүү бол энэ тоог ол:
Бодолт.Хоер оронтой тоог бичье: 10x+y ,үүнд х- аравтын орны тоо,у- нэгжийн орны тоо. Бодлогын эхний нөхцөлөөр x+y=9

2 дахь нөхцөлөөр: 10у+х=5(10x+y)/6

y=9-x 10(9-x)+x=5/6*(10x+9-x) 90-9x=5/6*(9x+9) 540-54x=45x+45

99x=495 x=5 y=9-x=9-5=4

10x+y=10*5+4=54 Хариу:54

Бодлого. 2 оронтой натурал тооны цифрүүдийн үржвэр 12 ба цифрүүдийн квадратуудын нийлбэр 40 бол энэ тоог ол. Хэрэв ийм тоонууд хэд хэд байвал тэдгээрийн нийлбэрийг ол.

Бодолт: Аравтын оронтойг х-ээр нэгжийн оронтойг у-ээр тэмдэглье:

ху=12 ба x^2+y^2=40

x=12/y 144/y^2+y^2=40 y^4-40y^2+144=0 y^2=t гэж орлуулан квадрат тэгшитгэлийг бодно.t^2-40t+144=0 D=1600-144*4=1024 t1=(40+32)/2=36 t2=(40-32)/2=4

y^2=36 y1=6 y^2=4 y2=4

x=12/y=12/6 x1=2 x=12/y=12/2 x2=6

{26;62}

26+62=88

Хариу 26;62 нийлбэр 88
Бодлого. 120 гэсэн тоог 2 тооны нийлбэр болгоход их хэсэг бага хэсгийг 3 дахин авснаас 12-оор илүү бол бага хэсгийг ол.
Бодолт: Их хэсгийг х-ээр бага хэсгийг у-ээр тэмдэглэж ,тэгшитгэл зохиобол:
Бодлогын эхний нөхцөлөөр: x+y=120; бодлогын дараагийн нөхцөлөөр: x=3y+12 болох ба эхний тэгшитгэлд орлуулан бодсноор шийдийг олох болно 3y+12+y=120
4y=108 y=108/4=27 Хариу: 27
Бодлого. 4 харандаа 3 дэвтэр авахад 700 төгрөг,2 харандаа 1 дэвтэр авахад 280 төгрөг төлсөн бол дэвтэр харандаан тус бүр ямар үнэтэй вэ?
Бодолт: Харандааны үнийг х-ээр ,дэвтэрийн үнийг у-ээр тус тус тэмдэглэж тэгшитгэл зохое.
Бодлогын эхний нөхцөл есоор 4x+3y=700,бодлогын дараагийн нөхцлөөр:2х+y=280 болж систем тэгшитгэлийг бодно. y=280-2x 4x+840-6x=700 2x=140 x=70
y=280-2x=280-140=140
Хариу: 70 төг ;140 төг

Хоёр үл мэдэгдэх тэгшитгэл бодох арга

Хоёр үл мэдэгдэх (Диофантын) тэгшитгэл бодох арга

1. 5x+4y=14 зэрэг тэгшитгэлийг хэрхэн боддог вэ?

Бодолт: 4y=14-5x =(12-4x)+(2-x)

y=(12-4x):4+(2-x):4=3-x+(2-x):4 өнгөтээр будагдсан тэгшитгэлийг t-р оруулна.Тэгвэл манай тэгшитгэл: y=3-x+t болно. (2-x):4=t тэгшитгэлээс x-г олно: 2-x=4t x=2-4t

y=3-2+4t+t=1+5t x,y тоонууд эерэг тоо бол 2-4t>0;1+5t>0 тэнцэл бишийг бодож t –г олно.

t<2/4 ;t>-1/5 t нь ]-1/5;2/4[ завсарт орших болно.t=0

Хэрэв t=0 үед x=2-4t=2; y=1+5t=1

Хариу:x=2; y=1

2.Хэрэв миний найзын төрсөн өдрөө 12-оор сарын дугаарыг 31 үржүүлбэл 334 гарсан бол тэр хэдэн сарын хэдэнд төрсөн вэ?

Бодолт: Сарыг х-ээр, өдрийг у-ээр тэмдэглэвэл: 12x+31y=334 тэгшитгэлд хүрч цаашид бодно:12x=334-31y=(324-24y)+(10-7y) болох ба х-ийг олбол:x=27-2y+(10-7y):12=27-2y+t x=27-2y+t

(10-7y):12=t 7y=10-12t=(7-7t)+(3-5t) y=1-t+(3-5t):7=1-t+d y=1-t+d

d=(3-5t):7 5t=3-7d=(3-2d)-5d t=(3-2d):5-d=z-d (3-2d):5=z

x=27-2(1-t+d)+t=25+3t-2d x=25+3(z-d)-2d=25+3z-5d x=25+3z-5d

5z=3-2d 2d=3-5z d=1-2z+(1-z):2=1-2z+f f=(1-z):2 z=1-2f

y=1-t+d=1-z+d+d=1-z+2d y=1-z+2d=1-(1-2f)+2(1-2(1-2f)+f) =1-1+2f+2-4+8f+2f=12f-2

y=12f-2 x=25+3(1-2f)-5(1-2(1-2f)+f)=25+3-6f-5+10-20f-5f=33-31f x=33-31f

X=33-31f;Y=12f-2 X,Y эерэг тоо учир 33-31f>0 12f-2>0 тэнцэл бишийг бодож f–г олно.

f<33/31 ;f>2/12 f нь ]2/12;33/31[ завсарт f=1

f=1 үед x=33-31f=33-31=2 x=2 ; y=12f-2=12-2=10 y=10

Хариу: 2 сарын 10 нд төрсөн

тригонометр

Тригонометрийн функцийн утга олох

1.cosa=5/13, 3п/2<a<2п бол 2sina+1=?
Бодолт:3п/2 <а <2п завсарт sina -ийн утга сөрөг (-) тэмдэгтэй байдаг.
sina=(1-cos^2(a))^(1/2)=- (1-(25/169))^(1/2)= - (144/169)^(1/2)= -12/13
2sina+1=-24/13+1=-11/13
Хариу: -11/13
2.ctgx=1/2, ctgy=1/5 бол (cos(x+y))/(cos(x-y))=?
Бодолт: cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny=sinxsiny(ctgxctgy-1)
;cos(x-y)=cosxcosy+sinxsiny=sinxsiny(ctgxctgy+1)
cos(x-y):cos(x+y)=(sinxsiny(ctgxctgy-1)):(sinxsiny(ctgxctgy+1))=
=(ctgxctgy-1):(ctgxctgy+1)=(1/2*1/5-1):(1/2*1/5+1)=(1/10-1):(1/10+1)=
=-9/10:11/10=-9/11
Хариу:-9/11
3.sin75*sin15=?
Бодолт:sina*sinb=1/2(cos(a-b)-cos(a+b)) томьеог ашиглана.
sin75*sin15=1/2(cos(75-15)+cos(75+15))=1/2(cos60+cos90)=1/2(1/2+0)=1/4
Хариу: 1/4

хязгаар

магадлал

Магадлал

Бодлого.Ангийн 20 сурагчийн 10 нь математикийн,8 нь англи хэлний,5 нь математик ба англи хэлний дугуйланд,үлдсэн нь аль ч дугуйланд явдаггүй бол санамсаргүйгээр сонгосон нэг сурагч ямар нэг дугуйланд явдаггүй байх магадлалыг ол.
Бодолт:Математикийн дугуйланд явдаг сурагчидын олонлогыг А{10},англи хэлний дугуйланд явдаг сурагчидын олонлогыг В{8},математик ба англи хэлний дугуйланд явдаг сурагчидын олонлогыг AUB {5},аль ч дугуйланд явдаггүй сурагчидын олонлогыг Х гэж тэмдэглэвэл,тус ангид нийт : A+B+X-AUB=20 сурагч байна.Энэ тэгшитгэлээс аль ч дугуйланд явдаггүй сурагчдын тоог олно:X=20-A-B+AUB=20-10-8+5=7
Санамсаргүйгээр сонгон авсан нэг сурагч ямар нэг дугуйланд явдаггүй магадлал нь:7/20
Бодлого.Хэсэг сэтгүүлч орос, англи хэлний ядаж нэгийг мэддэг бөгөөд англи хэл мэддэг 6,орос хэл мэддэг 12,хоер хэлийг хоеланг мэддэг 3 сэтгүүлч байсан бол санамсаргүйгээр нэг сэтгүүлч сонгоход тэр нь зөвхөн орос хэл мэддэг байх магадлалыг ол.
Бодолт:Англи хэл мэддэг сэтгүүлчидийн олонлогыг А{6},орос хэл мэддэг сэтгүүлчидын олонлогыгВ{12},хоер хэлийг хоуланг мэддэг сэтгүүлчидын олонлогыг AUB {3} тэмдэгэлэн нийт сэтгүүлчидийн тоог олно.Нийт сэтгүүлчидийн тоо:N=A+B-AUB=6+12-3=15
Зөвхөн орос хэл мэддэг сэтгүүлчидын тоо:S=B-AUB=12-3=9
Зөвхөн орос хэл мэддэг магадлал:S/N=9/15=3/5=0.6
Бодлого.Санамсаргүйгээр 2 оронтой тоо сонгон авахад тэр нь:
а) 3 ба 5-д хуваагддаг тоо байх магадлалыг ол.
б)3-д хуваагддаггүй тоо байх магадлалыг ол.
в)5-д хуваагдах боловч 3-д хуваагддаггүй байх магадлалыг ол
г)3-д эсвэл 5-д хуваагддаг тоо байх магадлалыг ол.
Бодолт:Нийт хоер оронтой тоо:N=90; 3 ба 5-д хуваагддаг хоер оронтой тоо:A=6;
3-д хуваагддагүй хоер оронтой тоо:X=60;5-д хуваагддаг боловч 3-д хуваагдаггүй хоер оронтой тоо:Y=12;3-д эсвэл 5-д хуваагдах хоер оронтой тоо:Z=42
а)3 ба 5-д хуваагддаг магадлал:A/N=6/90=1/15
б)3-д хувааддаггүй магадлал:X/N=60/90=2/3
в)5-д хуваагдах боловч 3-д хуваагддаггүй байх магадлал:Y/N=12/90=2/15
г)3-д эсвэл 5-д хуваагддаг магадлал:Z/N=42/90=7/15

Магадлал №2

Бодлого.(ЭЕШ-2007.Хувилбар А). Нэгээс мянга хүртэлх тоонуудаас таамагаар нэгийг авахад тэр нь 11-д хуваагдах тоо байх магадлалыг ол. А.0,08 B.0,09 C.0,1 D.0,11 E.0,12
Бодолт: Эхлээд мянгын тоонуудаас хэдэн тоо 11-д хуваагдахыг олно. 1000/11=90 бүхэл тоо байна.Одоо магадлалыг олно: P(A)=90/1000=0.09 Хариу:B
Бодлого.(ЭЕШ-2007.Хувилбар А1).Нэгээс мянга хүртэлх тоонуудаас таамгаар нэгийг авахад тэр нь 13-д хуваагдах тэгш тоо байх магадлалыг ол. А.0,037 B.0,038 C.0,039 D.0,04 Е.0,041
Бодолт: 1000/13=76. Үүнээс тэгш тоо нь 76/2=38 Магадлал нь: P(A)=38/1000=0.038
Хариу нь:В

Уламжлалын хэрэглээ

Бодлого.Периметр нь а-тай тэнцүү тэгш өнцөгтүүд дотроос хамгийн их талбайтайг ол.
Бодолт:Тэгш өнцөгтийн уртыг х-р,өргөнийг у-р тэмдэглэвэл,түүний талбай:S=xy болно.Тэгш өнцөгтийн периметр:2x+2y=a болох ба үүнээс өргөнийг олбол:y=a/2-x болно.у-н утгыг эхний тэгшитгэлд оруулбал,тэгш өнцөгтийн талбай:S=ax/2-x^2 болно.Энэхүү тэгшитгэлээс уламжлал авч,тэгтэй тэнцүүлэн тэгшитгэлийг бодно.Энэ тэгшитгэлээс уламжлал авбал:
S`=(ax/2-x^2)`=a/2-2x    a/2-2x=0; x=a/4 ; y=a/2-x=a/2-a/4=a/2;
Хамгийн их талбай: S=xy=a/2*a/2=(a^2)/2
Бодлого.а,в катет бүхий тэгш өнцөгт гурвалжинд түүнтэй ерөнхий тэгш өнцөгтэй тэгш өнцөгт багтаажээ.Уг тэгш өнцөгтийн хамгийн их талбайг ол.
Бодолт:Тэгш өнцөгтийн уртыг х,өргөнийг у гэж авбал,түүний талбай
S=xy болно.Төсөөтэй гурвалжины чанар есоор гурвалжингуудын
талуудын харьцаа :(b-x)/b=y/a   y=(ab-ax)/b болох ба үүнийг эхний
тэгшитгэлд оруулбал,тэгш өнцөгтийн талбай:
S=xy=x(ab-ax)/b=(abx-ax^2)/b
Энэ тэгшитгэлээс уламжлал авч,тэгтэй тэнцүүлэн
х ба у-н утгуудыг олно.
Уламжлал нь:S`=(abx-ax^2)/b)`=(ab^2-2abx)/(b^2);
ab^2-2abx=0 x=b/2;y=(ab-ax)/b=a/2
S=xy=b/2*a/2=ab/4

Гурвалжины өнцгүүдийг олох

Description: https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiU9CYWpMgu2VQi17uCn-rQF-u4IIRBqQHyZTav9g66Dx4-L8wN7s3rBrPJ6sjlulp-iBnIyqTf546iQltEHgjZ9dRxTq3VDORPB_1JL9fR9YD9mupUZ5mUBf_xCO-MPBvsAyGQXa5ACzU/s1600/%D3%A9%D0%BD%D1%86%D3%A9%D0%B3.bmp

Бодлого.ABC,ADC гурвалжины AD,BC талууд М цэгт огтолцжээ.
Хэрэв B,D хоер орой АС шулууны
нэг талд орших бөгөөд AB=BD,
<ABC=<ADC=40 градус,<AMC=70 градус
бол бусад өнцөгүүдийг ол
Бодолт:ADбаВС талууд М цэгт
огтолцсон тул АМВ гурвалжины
х өнцөг СМD гурвалжины х өнцөгүүд
вертикаль(босоо өнцөг) өнцөг тул харилцан тэнцүү ба нөгөө талаас AD шулууны хувьд АМС гурвалжины М өнцөг болон CMD гурвалжины х өнцөгүүд хамар өнцөг болох тул эдгээр өнцөгүүдийн нийлбэр 180 градустай тэнцүү: x+70=180 x=180-70=110градус
АВС гурвалжинаас у өнцөгийг олно. у+40+110=180 y=180-150=30 градус
АВ ,BD талууд тэнцүү учир ABD гурвалжин адил хажуут гурвалжин тул уг гурвалжины A,D өнцөгүүд тэнцүү тул:y=t 2у+40+z=180 z=180-2y-40=140-2*30=80 градус

Хөдөлгөөн бодлого

Бодлого (хөдөлгөөн)

Бодлого1 Усан онгоц 105км зайг урасгалын дагуу явахдаа урасгал сөрж явахаасаа 2 цагаар хурдан явжээ.Хэрэв тогтмол усанд онгоцны хурд 18 км/ц бол урасгалын хурдыг ол?
Бодолт:Усан онгоцны урасгалын дагуу явсан хугацааг Х-ээр,голын урасгалын хурдыг V-ээр тэмдэглэж тэгшитгэл зохиоход : Усан онгоц урасгалын дагуу: (18+V)X=105 км (1) зам явах ба урасгал сөрж : (18-V)(X+2)=105 км (2) зам явна. (1)-р тэгшитгэлээс Х-г олж,(2)-р тэгшитгэлд оруулан бодсноор голын урасгалын хурдыг олно: X=105:(18+V); (18-V)(105:(18+V)+2)=105 2V^2+210V-648=0 V^2+105V-324=0 D=11025+1296=12321
V=(-105+111):2=3км/ц (сөрөг утга бодлогын шийд биш учир орхисон)
Бодлого2.120м урттай тойрог замаар хоер цэг хөдлөнө. Тэд эсрэг чиглэлд хөдөлбөл 15 сек бүрд зэрэгцэх ба нэг зүгт хөдөлбөл 60 сек бүрд зэрэгцэнэ.Цэгүүдийн хурдыг ол?
Бодолт:Цэгүүдийн хурдуудыг Х ба У гэж авбал тэд эсрэг чиглэлд (X+У)15=120м `(1)зам явна
Харин нэг зүгт хөдөлбөл (Х-У)60=120м (2)зам явна .Энэ систем тэгшитгэлийг бодож цэгүүдийн хурдыг олно. (1)-р тэгшитгэлээс Х-г олбол: Х=8-У (2)-р тэгшитгэлд Х-н утгыг оруулан бодож У-олбол У=3м/с болох ба Х=5м/с

Хөдөлгөөний бодлого 1,2

Бодлого1.Автобус 3цаг явах замыг ачааны тэрэг 4 цаг явах ба тэдгээрийн хурдны зөрөө 15 км/ц бол тус бүрийн хурдыг ол?
Бодолт:Замыг Х-ээр тэмдэглэвэл Автобус Va=X/3 ба ачааны тэрэг Vat=X/4 хурдтай тус тус уг замыг туулна.Одоо хурданы зөрүүг дарах аргаар бичиж болно:X/3-X/4=15 үүнээс замыг олбол:X=180км болж,бид автобус болон ачааны тэрэгний хурдыг дээрх томьеонд оруулан бодно:Va=X/3=180/3=60км/ц Vat=X/4=180/4=45км/ц
Бодлого2.Моторт завь урасгал дагуу 45км,урасгал сөрж 22 км явахдаа 5 цаг зарцуулжээ.Голын
урасгалын хурд 2км/ц бол завины тогтмол усанд явах хурдыг ол?
Бодолт:Завины тогтол усанд явах хурдыг Vз-ээр тэмдэглэвэл,урасгал дагуу (Vз+2)x=45км зам явна.Харин урасгал сөрж (Vз-2)у=22км зам явна.Завь нийт эдгээр замыг туулахад х+у=5 цаг зарцуулна.Анхаарах нь:Хэрэв завь голын урасгалын дагуу явбал завины хурданд голын урасгалын хурдыг нэмж өгнө.Хэрэв завь голын урасгалыг сөрж явбал завины хурднаас голын урасгалын хурдыг хасаж өгнө.
Дээрхи тэгшитгэлүүдийг хувиргавал: x=5-y (Vз+2)(5-y)=45 5Vз-уVз+10-2у=45 5Vз-уVз-2у=35 болох ба (Vз-2)у=22 у=22:(Vз-2) энэ илэрхийлэлийг эхний тэгшитгэлийн у-ийн оронд тавивал: 5Vз-Vз(22:(Vз-2))-2(22:(Vз-2)=35 болох ба цааш бодон :
5Vз(Vз-2)-22Vз-44=35(Vз-2) энд Vз нь 2-той тэнцүү биш 5Vз^2-67Vз+26=0 квадрат тэгшитгэлийг бодно. Vз=13км/ц