магадлал

Магадлал

Бодлого.Ангийн 20 сурагчийн 10 нь математикийн,8 нь англи хэлний,5 нь математик ба англи хэлний дугуйланд,үлдсэн нь аль ч дугуйланд явдаггүй бол санамсаргүйгээр  сонгосон нэг сурагч ямар нэг дугуйланд явдаггүй байх магадлалыг ол.
Бодолт:Математикийн дугуйланд явдаг сурагчидын олонлогыг А{10},англи хэлний дугуйланд явдаг сурагчидын олонлогыг В{8},математик ба англи хэлний дугуйланд явдаг сурагчидын олонлогыг AUB {5},аль ч дугуйланд явдаггүй сурагчидын олонлогыг Х гэж тэмдэглэвэл,тус ангид нийт : A+B+X-AUB=20 сурагч байна.Энэ тэгшитгэлээс аль ч дугуйланд явдаггүй сурагчдын тоог олно:X=20-A-B+AUB=20-10-8+5=7
Санамсаргүйгээр сонгон авсан нэг сурагч ямар нэг дугуйланд явдаггүй магадлал нь:7/20
Бодлого.Хэсэг сэтгүүлч орос, англи хэлний ядаж нэгийг мэддэг бөгөөд англи хэл мэддэг 6,орос хэл мэддэг 12,хоер хэлийг хоеланг мэддэг 3 сэтгүүлч байсан бол санамсаргүйгээр нэг сэтгүүлч сонгоход тэр нь зөвхөн орос хэл мэддэг байх магадлалыг ол.
Бодолт:Англи хэл мэддэг сэтгүүлчидийн олонлогыг А{6},орос хэл мэддэг сэтгүүлчидын олонлогыгВ{12},хоер хэлийг хоуланг мэддэг сэтгүүлчидын олонлогыг AUB {3} тэмдэгэлэн нийт сэтгүүлчидийн тоог олно.Нийт сэтгүүлчидийн тоо:N=A+B-AUB=6+12-3=15
Зөвхөн орос хэл мэддэг сэтгүүлчидын тоо:S=B-AUB=12-3=9
Зөвхөн орос хэл мэддэг магадлал:S/N=9/15=3/5=0.6
Бодлого.Санамсаргүйгээр 2 оронтой тоо сонгон авахад тэр нь:
а) 3 ба 5-д хуваагддаг тоо байх магадлалыг ол.
б)3-д хуваагддаггүй тоо байх магадлалыг ол.
в)5-д хуваагдах боловч 3-д хуваагддаггүй байх магадлалыг ол
г)3-д эсвэл 5-д хуваагддаг тоо байх магадлалыг ол.
Бодолт:Нийт хоер оронтой тоо:N=90; 3 ба 5-д хуваагддаг хоер оронтой тоо:A=6;
3-д хуваагддагүй хоер оронтой тоо:X=60;5-д хуваагддаг боловч 3-д хуваагдаггүй хоер оронтой тоо:Y=12;3-д эсвэл 5-д хуваагдах хоер оронтой тоо:Z=42
а)3 ба 5-д хуваагддаг магадлал:A/N=6/90=1/15
б)3-д хувааддаггүй магадлал:X/N=60/90=2/3
в)5-д хуваагдах боловч 3-д хуваагддаггүй байх магадлал:Y/N=12/90=2/15
г)3-д эсвэл 5-д хуваагддаг магадлал:Z/N=42/90=7/15  

Магадлал №2

Бодлого.(ЭЕШ-2007.Хувилбар А). Нэгээс мянга хүртэлх тоонуудаас таамагаар нэгийг авахад тэр нь 11-д хуваагдах тоо байх магадлалыг ол. А.0,08 B.0,09 C.0,1 D.0,11 E.0,12
 Бодолт: Эхлээд мянгын тоонуудаас хэдэн тоо 11-д хуваагдахыг олно. 1000/11=90 бүхэл тоо байна.Одоо магадлалыг олно: P(A)=90/1000=0.09 Хариу:B
 Бодлого.(ЭЕШ-2007.Хувилбар А1).Нэгээс мянга хүртэлх тоонуудаас таамгаар нэгийг авахад тэр нь 13-д хуваагдах тэгш тоо байх магадлалыг ол. А.0,037 B.0,038 C.0,039 D.0,04 Е.0,041
 Бодолт: 1000/13=76. Үүнээс тэгш тоо нь 76/2=38   Магадлал нь: P(A)=38/1000=0.038
Хариу нь:В

Уламжлалын хэрэглээ

Бодлого.Периметр нь а-тай тэнцүү тэгш өнцөгтүүд дотроос хамгийн их талбайтайг ол.
Бодолт:Тэгш өнцөгтийн уртыг х-р,өргөнийг у-р тэмдэглэвэл,түүний талбай:S=xy болно.Тэгш өнцөгтийн периметр:2x+2y=a болох ба үүнээс өргөнийг олбол:y=a/2-x болно.у-н утгыг эхний тэгшитгэлд оруулбал,тэгш өнцөгтийн талбай:S=ax/2-x^2 болно.Энэхүү тэгшитгэлээс уламжлал авч,тэгтэй тэнцүүлэн тэгшитгэлийг бодно.Энэ тэгшитгэлээс уламжлал авбал:
S`=(ax/2-x^2)`=a/2-2x    a/2-2x=0; x=a/4 ; y=a/2-x=a/2-a/4=a/2;  
Хамгийн их талбай: S=xy=a/2*a/2=(a^2)/2
Бодлого.а,в катет бүхий тэгш өнцөгт гурвалжинд түүнтэй ерөнхий тэгш өнцөгтэй тэгш өнцөгт багтаажээ.Уг тэгш өнцөгтийн хамгийн их талбайг ол.
Бодолт:Тэгш өнцөгтийн уртыг х,өргөнийг у гэж авбал,түүний талбай
S=xy болно.Төсөөтэй гурвалжины чанар есоор гурвалжингуудын 
талуудын харьцаа :(b-x)/b=y/a   y=(ab-ax)/b болох ба үүнийг эхний 
тэгшитгэлд оруулбал,тэгш өнцөгтийн талбай:
 S=xy=x(ab-ax)/b=(abx-ax^2)/b                                                                        
Энэ тэгшитгэлээс уламжлал авч,тэгтэй тэнцүүлэн                   
 х ба у-н  утгуудыг олно.
Уламжлал нь:S`=(abx-ax^2)/b)`=(ab^2-2abx)/(b^2); 
ab^2-2abx=0 x=b/2;y=(ab-ax)/b=a/2
S=xy=b/2*a/2=ab/4

Гурвалжины өнцгүүдийг олох

                         Бодлого.ABC,ADC гурвалжины AD,BC талууд М цэгт огтолцжээ.
Хэрэв B,D хоер орой АС шулууны
 нэг талд орших бөгөөд AB=BD,
<ABC=<ADC=40 градус,<AMC=70 градус
 бол бусад өнцөгүүдийг ол
Бодолт:ADбаВС талууд М цэгт 
огтолцсон тул АМВ гурвалжины
 х өнцөг СМD гурвалжины х өнцөгүүд
 вертикаль(босоо өнцөг) өнцөг тул харилцан тэнцүү ба нөгөө талаас AD шулууны хувьд АМС гурвалжины М өнцөг болон CMD гурвалжины х өнцөгүүд хамар өнцөг болох тул эдгээр өнцөгүүдийн нийлбэр 180 градустай тэнцүү: x+70=180 x=180-70=110градус
АВС гурвалжинаас у өнцөгийг олно. у+40+110=180 y=180-150=30 градус
АВ ,BD талууд тэнцүү учир ABD гурвалжин адил хажуут гурвалжин тул уг гурвалжины A,D өнцөгүүд тэнцүү тул:y=t 2у+40+z=180   z=180-2y-40=140-2*30=80 градус